Bài 1.62 trang 22 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Cho hai hàm số: \(f(x) =  - {1 \over 4}{x^2} + x + {1 \over 4}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

LG a

Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số f và đồ thị (C) của hàm số g tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x = 1.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - \frac{1}{2}x + 1\\g'\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array}\)

(P) và (C ) tiếp xúc nhau \( \Leftrightarrow \) hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\) có nghiệm

Xét hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f'\left( x \right) = g'\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} = \sqrt {{x^2} - x + 1} \\ - \frac{1}{2}x + 1 = \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào hệ trên ta thấy thỏa mãn.

Do đó hệ có nghiệm \(x = 1\).

Vậy (P) và (C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ \(x = 1\).

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến chung (D) của (P) và (C) tại điểm A.

Lời giải chi tiết:

Tại \(A\left( {1;1} \right)\) có: \(f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\) nên phương trình tiếp tuyến là:

\(y = \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\).

LG c

Chứng minh rằng (P) nằm phía dưới đường thẳng (D) và (C) nằm phía trên (D).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(h(x) = {x \over 2} + {1 \over 2}\) ta có

\(g(x) - h(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1}  - {{x + 1} \over 2}\)

- Với \(x + 1 \le 0\) hay \(x \le  - 1\) , ta có \(g(x) - h(x) > 0\)

- Với \(x + 1 > 0\) hay \(x >  - 1\) ta có:

\(g(x) - h(x) > 0\)

\(\eqalign{&  \Leftrightarrow g(x) > h(x)  \cr&  \Leftrightarrow {g^2}(x) > {h^2}(x)  \cr&  \Leftrightarrow 4({x^2} - x + 1) > {\left( {x + 1} \right)^2}  \cr&  \Leftrightarrow 3{\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)

Do đó, \(g(x) - h(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\) và chỉ có đẳng thức khi x = 1 hay (C) luôn nằm phía trên (D).

Lại có:

\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) - h\left( x \right)\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + x + \frac{1}{4} - \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\\
= - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{x}{2} - \frac{1}{4}\\
= - \frac{1}{4}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\\
= - \frac{1}{4}{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0,\forall x
\end{array}\)

Nên (P) luôn nằm phía dưới (D).

Vậy ta có đpcm.