Bài 1.66 trang 23 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

\(y = {{mx - 1} \over {x - m}},m \ne  \pm 1\)

Gọi \(\left( {{H_m}} \right)\) là đồ thị của hàm số đã cho. 

LG a

Chứng minh rằng với mọi \(m \ne  \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A và B.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị \(\left( {{H_m}} \right)\) của hàm số đã cho đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi

\({y_0} = {{m{x_0} - 1} \over {{x_0} - m}}\)

Với mọi \(m \ne  \pm 1\) , đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua điểm \(\left( {{x_0},{y_0}} \right)\) khi và chỉ khi phương trình trên (với ẩn số m) nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm 1\).

Với mọi \(m \ne  \pm 1\), phương trình trên tương đương với phương trình

\(\eqalign{& {y_0}\left( {{x_0} - m} \right) = m{x_0} - 1  \cr &  \Leftrightarrow \left( {{x_0} + {y_0}} \right)m = {x_0}{y_0} + 1 \cr} \)

Phương trình nghiệm đúng với mọi \(m \ne  \pm 1\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{{x_0} + {y_0} = 0 \hfill \cr {x_0}{y_0} + 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{y_0} =  - {x_0} \hfill \cr - x_0^2 + 1 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Hệ phương trình tương đương với mọi \(m \ne  \pm 1\), đường cong \(\left( {{H_m}} \right)\) luôn đi qua hai điểm cố định A(-1;1) và B(1;-1).

LG b

Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của \(\left( {{H_m}} \right)\). Tìm tập hợp các điểm M khi m thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Với \(m \ne  \pm 1\) thì đồ thị hàm số có các đường tiệm cận:

+) TCĐ: \(x = m\)

+) TCN: \(y = m\)

Giao điểm hai đường tiệm cận: \(M\left( {m;m} \right)\).

Dễ thấy \({y_M} = {x_M}\) nên \(M\) luôn nằm trên đường thẳng \(y = x\).

Vậy tập hợp các điểm M khi m lấy các giá trị trong tập hợp \(R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\) là đường thẳng  y = x bỏ đi hai điểm (-1;-1) và (1;1).