Bài 1.59 trang 22 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

\(y = {x^3} - 2m(x + 1) + 1\)

LG a

Với các giá trị nào của m, đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt

Lời giải chi tiết:

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình

\(\eqalign{& {x^3} + 1 - 2m(x + 1) = 0  \cr& \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) - 2m\left( {x + 1} \right) = 0\cr&  \Leftrightarrow (x + 1)({x^2} - x + 1 - 2m) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{x =  - 1 \hfill \cr f(x) = {x^2} - x + 1 - 2m = 0(1) \hfill \cr}  \right.\)

Đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1, tức là

\(\left\{ \matrix{\Delta  > 0 \hfill \cr f( - 1) \ne 0 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{8m - 3 > 0 \hfill \cr3 - 2m \ne 0 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow m > {3 \over 8}\) và \(m \ne {3 \over 2}\).

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

Lời giải chi tiết:

Với \(m = 2\) ta có:

\(y = {x^3} - 4\left( {x + 1} \right) + 1\) \( = {x^3} - 4x - 3\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} - 4\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}\\y\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{ - 27 - 16\sqrt 3 }}{9}\\y\left( { - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{ - 27 + 16\sqrt 3 }}{9}\end{array}\)

BBT:

+) Đồ thị: