Bài 16 trang 108 SGK Đại số 10

Đề bài

Bất phương trình : \(mx^2+(2m-1)x+m+1<0\) có nghiệm khi

(A). \(m=1\)

(B). \(m =3\)

(C). \(m = 0\)

(D). \(m=0,25\)

Lời giải chi tiết

\(+) \, m=1\) ta được \( x^2+ x+2< 0 \)

VT của bpt có \(\Delta  =  - 7 < 0\) và hệ số \(a=1>0\) nên VT>0 với mọi \(x\).

Do đó bpt \( x^2+ x+2< 0 \) vô nghiệm hay (A) sai

\(+) \,m = 3\) có : \(3x^2+ 5x + 4 < 0 \)

VT của bpt có \(\Delta  =  - 23 < 0\) và hệ số \(a=3>0\) nên VT>0 với mọi x

Do đó bpt \(3x^2+ 5x + 4 < 0 \) vô nghiệm hay (B) sai

\(+) \, m = 0\), bất phương trình trở thành \(–x+1< 0\) \( \Leftrightarrow  - x <  - 1 \Leftrightarrow x > 1\) nên bpt có nghiệm.

Vậy (C) đúng.

\(+) \,m = 0,25\) thì ta được bpt \(0,25x^2-0,5x+1,25 < 0\) VT của bpt có có \(\Delta  = 0,{5^2} - 4.0,25.1,25 =  - 1 < 0\) và hệ số \(a=0,25>0\) vên VT>0 với mọi x.

Do đó bpt \(0,25x^2-0,5x+1,25 < 0\) vô nghiệm.

Vậy (D) sai.

Chọn C.

Cách khác:

Ta tìm m để bpt đã cho vô nghiệm.

Xét f(x) = mx² + (2m – 1)x + m + 1.

+ Nếu m = 0, BPT trở thành \( - x + 1 < 0 \Leftrightarrow x > 1\) nên bpt có nghiệm (TM).

+ Nếu m ≠ 0 :

f(x) có Δ = (2m – 1)² – 4.m.(m+1) = 4m² – 4m + 1 – 4m² – 4m = 1 – 8m.

BPT f(x) < 0 vô nghiệm

⇔ f(x) ≥ 0 với ∀ x ∈ R

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\1 - 8m \le 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ge \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{8}\)

Vậy với mọi m ≥ 1/8 thì BPT f(x) < 0 vô nghiệm

Suy ra với mọi m < 1/8 thì BPT f(x) < 0 có nghiệm.

Trong các đáp án trên chỉ có m = 0 thỏa mãn.