Bài 10 trang 107 SGK Đại số 10

Đề bài

Cho \(a>0, \, b>0\). Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b. \)

Lời giải chi tiết

Cách 1: Sử dụng BĐT Cô - si:

Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương:

Cách 3: Đặt ẩn phụ kết hợp BĐT Cô - si

Đặt \(x=\sqrt a, y = \sqrt b\) (với \(x>0\) và \(y>0\)) ta được: 

\({a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y}; \, \, {b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}\)

Suy ra: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} \)\(= {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\) (1)

Mà \(x^2+y^2≥ 2xy\)  (Bất đẳng thức Cô-si)

Nên \(x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔\) \({{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\)

Do đó (1) \({{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\)

\(⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \,(đpcm).\)