Bài 1.51 trang 20 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y =  - {x^4} + 2{x^2} + 2\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  - \infty \)

\(\begin{array}{l}y' =  - 4{x^3} + 4x\\y' = 0 \Leftrightarrow  - 4{x^3} + 4x = 0\\ \Leftrightarrow  - 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  \pm 1,{y_{CD}} = 3\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 2\).

+) Đồ thị:

Trục đối xứng: \(Oy\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\).

Điểm cực tiểu \(\left( {0;2} \right)\) và điểm cực đại \(\left( { - 1;3} \right),\left( {1;3} \right)\).

LG b

Chứng minh rằng với mọi m < 2, phương trình

\( - {x^4} + 2{x^2} + 2 - m = 0\)

Có hai nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\( - {x^4} + 2{x^2} + 2 - m = 0\) \( \Leftrightarrow  - {x^4} + 2{x^2} + 2 = m\)

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C ) với đường thẳng \(y = m\).

Với \(m < 2\), từ đồ thị ta thấy đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị tại đúng 2 điểm.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi \(m < 2\).

LG c

Từ đồ thị (C) của hàm số đã cho suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số

\(y = \left| { - {x^4} + 2{x^2} + 2} \right|\)

Lời giải chi tiết:

+) Giữ nguyên phần của (C) nằm phía trên trục hoành

+) Lấy đối xứng phần của (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành

Ta được đồ thị hàm số \(y = \left| { - {x^4} + 2{x^2} + 2} \right|\).