Bài 1.46 trang 19 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Tìm các hệ số a, b, c sao cho đồ thị hàm số

\(f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\)

Cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2 và tiếp xúc với đường thẳng y = 1 tại điểm có hoành độ là –1

Lời giải chi tiết:

(C) cắt trục tung tại \(\left( {0;2} \right)\) nên \(2 = f\left( 0 \right)\)

\( \Leftrightarrow 2 = {0^3} + a{.0^2} + b.0 + c\)

\( \Leftrightarrow c = 2\)

Vì đồ thị của hàm số cần tìm đi qua điểm (-1;1) nên \(f\left( { - 1} \right) =  - 1 + 1-b + 2 = 1\).

Do đó \(a = b\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\)

Vì đồ thị tiếp xúc với đường thẳng \(y = 1\) tại điểm có hoành độ là -1 nên \(f'( - 1) = 3 - 2a + b = 0\)

Hay \(-2a+b=-3\).

Ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}a = b\\ - 2a + b =  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\ - 2a + a =  - 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(a = 3,b = 3,c = 2\).

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị vừa tìm được của a, b, c.

Lời giải chi tiết:

Với \(a = 3,b = 3,c = 2\) ta có \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 2\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(\begin{array}{l}y' = 3{x^2} + 6x + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 6x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow 3{\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\end{array}\)

\(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Hàm số không có cực trị.

BBT:

+) Đồ thị:

\(\begin{array}{l}y'' = 6x + 6\\y'' = 0 \Leftrightarrow 6x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) = 1\end{array}\)

Điểm uốn \(I\left( { - 1;1} \right)\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\{x^2} + x + 1 = 0\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}\)

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - 2;0} \right)\).