Bài 1.47 trang 19 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Tìm các hệ số m, n sao cho hàm số

\(y =  - {x^3} + mx + n\)

Đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thị của nó đi qua điểm (1;4).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + m\\f''\left( x \right) =  - 6x\end{array}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( { - 1} \right) = 0\\f''\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3.{\left( { - 1} \right)^2} + m = 0\\ - 6.\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 3 = 0\\6 > 0\left( {dung} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)

Do đó \(f\left( x \right) =  - {x^3} + 3x + n\).

Đồ thị đi qua \(\left( {1;4} \right)\) \( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow  - {1^3} + 3.1 + n = 4\)  

\( \Leftrightarrow 2 + n = 4 \Leftrightarrow n = 2\)

Vậy \(m = 3,n = 2\).

LG b

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị m, n vừa tìm được.

Lời giải chi tiết:

Với \(m = 3,n = 2\) ta có \(y =  - {x^3} + 3x + 2\)

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

\(\begin{array}{l}y' =  - 3{x^2} + 3\\y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 4\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1,{y_{CT}} = 0\).

+) Đồ thị:

\(\begin{array}{l}y'' =  - 6x\\y'' = 0 \Leftrightarrow  - 6x = 0\\ \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow y\left( 0 \right) = 2\end{array}\)

Điểm uốn \(I\left( {0;2} \right)\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;2} \right)\), đi qua điểm \(\left( { - 2;4} \right)\).

Điểm cực đại \(\left( {1;4} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( { - 1;0} \right)\).

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l} - {x^3} + 3x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( {2;0} \right)\) và tiếp xúc trục hoành tại điểm \(\left( { - 1;0} \right)\).