Bài 1.50 trang 20 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

\(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)

\(\begin{array}{l}y' = 4{x^3} - 4x\\y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0\\ \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  \pm 1,{y_{CD}} = 2\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} = 3\).

+) Đồ thị:

Trục đối xứng: \(Oy\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;3} \right)\).

Điểm cực đại \(\left( {0;3} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( { - 1;2} \right),\left( {1;2} \right)\).

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại mỗi điểm uốn của nó

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}y'' = 12{x^2} - 4\\y'' = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow y\left( { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{22}}{9}\end{array}\)

Với \({U_1}\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{22}}{9}} \right)\) ta có \(y'\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\) nên phương trình tiếp tuyến là:

\(y =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + \frac{{22}}{9}\) hay \(y =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \frac{{10}}{3}\).

Với \({U_2}\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }};\frac{{22}}{9}} \right)\) ta có \(y'\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\) nên phương trình tiếp tuyến là:

\(y = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) + \frac{{22}}{9}\) hay \(y = \frac{{8\sqrt 3 }}{9}x + \frac{{10}}{3}\).