Bài 1.49 trang 20 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

\(y =  - {x^3} + {3 \over 2}{x^2} + 6x - 3\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \)

\(\begin{array}{l}y' =  - 3{x^2} + 3x + 6\\y' = 0 \Leftrightarrow  - 3{x^2} + 3x + 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2,{y_{CD}} = 7\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 1,{y_{CT}} =  - \frac{{13}}{2}\).

+) Đồ thị:

\(\begin{array}{l}y'' =  - 6x + 3\\y'' = 0 \Leftrightarrow  - 6x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2} \Rightarrow y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}\end{array}\)

Điểm uốn \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{4}} \right)\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 3} \right)\).

Điểm cực đại \(\left( {2;7} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( { - 1; - \frac{{13}}{2}} \right)\).

LG b

Chứng minh rằng phương trình

\( - {x^3} + {3 \over 2}{x^2} + 6x - 3 = 0\)

Có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm dương nhỏ hơn \({1 \over 2}\).

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị của hàm số, dễ dàng thấy rằng phương trình đã cho có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) , trong đó \({x_1} <  - 1,{x_2} \in \left( { - 1;2} \right)\) và \({x_3} > 2\) .

Hơn nữa, vì \(f(0) =  - 3 < 0\) và \(f\left( {{1 \over 2}} \right) = {1 \over 4} > 0\) nên \({x_2} \in \left( {0;{1 \over 2}} \right)\)