Bài 1.44 trang 19 SBT Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y = {1 \over 3}{x^3} + {x^2} - 2\)

Lời giải chi tiết:

+) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

+) Chiều biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \)

\(\begin{array}{l}y' = {x^2} + 2x\\y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

BBT:

Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 2;0} \right)\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} =  - \frac{2}{3}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} =  - 2\).

+) Đồ thị:

\(\begin{array}{l}y'' = 2x + 2\\y'' = 0 \Leftrightarrow 2x + 2 = 0\\ \Leftrightarrow x =  - 1 \Rightarrow y\left( { - 1} \right) =  - \frac{4}{3}\end{array}\)

Điểm uốn \(I\left( { - 1; - \frac{4}{3}} \right)\).

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\).

Điểm cực đại \(\left( { - 2; - \frac{2}{3}} \right)\) và điểm cực tiểu \(\left( {0; - 2} \right)\).

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn của nó.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y'\left( { - 1} \right) =  - 1\)

Tiếp tuyến tại \(I\left( { - 1; - \frac{4}{3}} \right)\) là:

\(y =  - 1\left( {x + 1} \right) - \frac{4}{3}\) \( \Leftrightarrow y =  - x - \frac{7}{3}\)