Bài 1.49 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.49 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm ...


Đề bài

Hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)\)

\(\cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\eqalign{
 \cos 6x &= \cos \left( {2x + 4x} \right) \cr&= \cos 2x\cos 4x - \sin 2x\sin 4x \cr 
& = \cos 2x\left( 2{{{\cos }^2}2x - 1} \right) - 2{\sin ^2}2x\cos 2x \cr 
&  = 2{\cos ^3}2x - \cos 2x - 2\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)\cos 2x \cr&= 4{\cos ^3}2x - 3\cos 2x \cr} \)

Áp dụng kết quả đó, phương trình đã cho có thể biến đổi như sau:

\(\eqalign{& \cos 4x = {\cos ^2}3x + m{\sin ^2}x \cr&\Leftrightarrow \cos 4x = {{1 + \cos 6x} \over 2} + {{m\left( {1 - \cos 2x} \right)} \over 2} \cr 
& \Leftrightarrow 2\left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right) = 1 + \cos 6x + m - m\cos 2x \cr 
& \Leftrightarrow 4{\cos ^2}2x - 2 = 1 + 4{\cos ^3}2x - 3\cos 2x + m \cr&\;\;\;= m\cos 2x \cr 
& \Leftrightarrow 4{\cos ^3}2x - 4{\cos ^2}2x - \left( {m + 3} \right)\cos 2x + m + 3 \cr&\;\;\;\;= 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left( {\cos 2x - 1} \right)\left[ {4{{\cos }^2}2x - \left( {m + 3} \right)} \right] = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 1 \hfill \cr 
4{\cos ^2}2x = \left( {m + 3} \right) \hfill \cr} \right.\)

Nếu phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)\) thì \(2x \in \left( {0;{\pi  \over 6}} \right)\),

Suy ra \({{\sqrt 3 } \over 2} < \cos 2x < 1\) và \({3 \over 4} < {\cos ^2}2x < 1\), nghĩa là \(3 < m + 3 < 4\) hay \(0 < m < 1\)

Ngược lại, dễ thấy rằng nếu \(0 < m < 1\) thì phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\pi  \over {12}}} \right)\)

Bài giải tiếp theo



Bài giải liên quan

Từ khóa phổ biến