Bài 1.32 trang 13 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.32 trang 13 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...


Giải các phương trình sau:

LG a

\(4\sin x - 3\cos x = 5\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
4\sin x - 3\cos x = 5\\
\Leftrightarrow \frac{4}{5}\sin x - \frac{3}{5}\cos x = 1\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin x - \sin \alpha \cos x = 1\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x - \alpha } \right) = 1\\
\Leftrightarrow x - \alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \alpha + \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array}\)

với \(\cos \alpha  = {4 \over 5}\) và \(\sin \alpha  = {3 \over 5}\)


LG b

\(3\cos x + 2\sqrt 3 \sin x = {9 \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({3^2} + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} = 21.\)

Chia hai vế của phương trình cho \(\sqrt {21} \), ta được phương trình

\({2 \over {\sqrt {21} }}\cos x + {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }}\sin x = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)

Chọn \(\alpha \) sao cho \(\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {21} }}\) và \(\sin \alpha  = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt {21} }} = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và chọn được \(\beta \) sao cho \(\cos \beta  = {9 \over {2\sqrt {21} }}.\)

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

\(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow x - \alpha = \pm \beta + k2\pi \\
\Leftrightarrow x = \alpha \pm \beta + k2\pi
\end{array}\)

(trong đó \(\cos \alpha  = {3 \over {\sqrt {21} }},\sin \alpha  = 2\sqrt {{1 \over 7}} \) và \(\cos \beta = {9 \over {2\sqrt {21} }}\)).


LG c

\(3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\)     

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
3\sin 2x + 2\cos 2x = 3\\
\Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {13} }}\sin 2x + \frac{2}{{\sqrt {13} }}\cos 2x = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin 2x + \sin \alpha \cos 2x = \cos \alpha \\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x + \alpha = \frac{\pi }{2} - \alpha + k2\pi \\
2x + \alpha = \pi - \frac{\pi }{2} + \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} - \alpha + k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

với \(\left\{ \begin{array}{l}
\cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\
\sin \alpha = \frac{2}{{\sqrt {13} }}
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = {\pi  \over 4} - \alpha  + k\pi ,x = {\pi  \over 4} + k\pi \).


LG d

\(2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
2\sin 2x + 3\cos 2x = \sqrt {13} \sin 14x\\
\Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt {13} }}\sin 2x + \frac{3}{{\sqrt {13} }}\cos 2x = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \cos \alpha \sin 2x + \sin \alpha \cos 2x = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \sin \left( {2x + \alpha } \right) = \sin 14x\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
14x = 2x + \alpha + k2\pi \\
14x = \pi - 2x - \alpha + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\alpha }{{12}} + \frac{{k\pi }}{6}\\
x = \frac{{\pi - \alpha }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{8}
\end{array} \right.
\end{array}\)

trong đó \(\cos \alpha  = {2 \over {\sqrt {13} }},\sin \alpha  = {3 \over {\sqrt {13} }}.\)



Bài giải liên quan

Từ khóa phổ biến