Bài 1.43 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

LG a

\(\tan x = 1 - \cos 2x\)  

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\cos x \ne 0\)

\(\begin{array}{l}
\tan x = 1 - \cos 2x\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)\\
\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2{\sin ^2}x\\
\Rightarrow \sin x = 2{\sin ^2}x\cos x\\
\Leftrightarrow \sin x = \sin x\sin 2x\\
\Leftrightarrow \sin x\left( {\sin 2x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 0\\
\sin 2x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\,\,\,\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Vậy \(x = k\pi ,x = {\pi  \over 4} + k\pi \).

LG b

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3}\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3} \)

\(\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}\)

\( \Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\cos \left( {x - {{15}^o}} \right) \ne 0\) và \(\sin \left( {x + {{15}^o}} \right) \ne 0\)

\(\tan \left( {x - {{15}^o}} \right)\cot \left( {x + {{15}^o}} \right) = {1 \over 3} \)

\(\Leftrightarrow {{\sin \left( {x - {{15}^o}} \right)\cos \left( {x + {{15}^o}} \right)} \over {\cos \left( {x - {{15}^o}} \right)\sin \left( {x + {{15}^o}} \right)}} = {1 \over 3}\)

\( \Leftrightarrow {{\sin 2x - \sin {{30}^o}} \over {\sin 2x + \sin {{30}^o}}} = {1 \over 3}\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{\sin 2x - \frac{1}{2}}}{{\sin 2x + \frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}\\
\Leftrightarrow 3\sin 2x - \frac{3}{2} = \sin 2x + \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \sin 2x = 1\\
\Leftrightarrow 2x = {90^0} + k{360^0}\\
\Leftrightarrow x = {45^0} + k{180^0}\,\,\left( {TM} \right)
\end{array}\)

Vậy \(x = {45^o} + k{180^o}\).

LG c

\(\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin 2x + 2\cos 2x = 1 + \sin x - 4\cos x\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow  \sin 2x + 2\left( {{{2\cos }^2}x - 1} \right) = 1 + \sin x - 4\cos x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {\sin 2x - \sin x} \right) + \left( {4{{\cos }^2}x - 1} \right) + 4\cos x - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin x\left( {2\cos x - 1} \right) + \left( {2\cos x + 1} \right)\left( {2\cos x - 1} \right) \cr&+ 2\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2\cos x - 1} \right)\left( {\sin x + 2\cos x + 3} \right) = 0 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\cos x - 1 = 0\\
\sin x + 2\cos x = - 3\left( {VN\,do\,{1^2} + {2^2} < {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi
\end{array}\)

Vậy \(x =  \pm {\pi  \over 3} + k2\pi \).

LG d

\(3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Quy về phương trình trùng phương đối với \(\cos x\).

Lời giải chi tiết:

\(3{\sin ^4}x + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 3{\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2} + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3\left( {1 - 2{{\cos }^2}x + {{\cos }^4}x} \right) + 5{\cos ^4}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 8{\cos ^4}x - 6{\cos ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
{\cos ^2}x = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{3}{4}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos 2x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = {\pi  \over 2} + k\pi ,x =  \pm {\pi  \over 6} + k\pi \)

LG e

 \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành \(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 1} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

 \(\left( {2\sin x - \cos x} \right)\left( {1 + \cos x} \right) = {\sin ^2}x\)

\(\begin{array}{l}
2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin x - \cos x + 2\sin x\cos x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right) + \cos x\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 + \cos x} \right)\left( {2\sin x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = - 1\\
\sin x = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \pi + k2\pi \\
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = \pi  + k2\pi ,\) \(x = {\pi  \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \)

LG f

\(1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x\)

Lời giải chi tiết:

\(1 + \sin x\cos 2x = \sin x + \cos 2x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \sin x\cos 2x - \sin x - \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right) - \cos 2x\left( {1 - \sin x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = 1\\
\cos 2x = 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
x = k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x = k\pi ,x = {\pi  \over 2} + 2k\pi \)

LG g

\({\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x \)\(= 1 + \tan x + \cot x\)

Phương pháp giải:

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình thành

\(\tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) + \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + \sin 2x =  - 1\)

Lời giải chi tiết:

\({\sin ^2}x\tan x + {\cos ^2}x\cot x - {\sin }2x \)\(= 1 + \tan x + \cot x\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\\
+ \cot x\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \tan x.{\cos ^2}x\\
+ \cot x.{\sin ^2}x = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin x\cos x + \cos x\sin x = 0\\
\Leftrightarrow 1 + \sin 2x + \sin 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2\sin 2x = - 1\\
\Leftrightarrow \sin 2x = - \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
2x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{{12}} + k\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy \(x =  - {\pi  \over {12}} + k\pi ,x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \)