Bài 1.46 trang 15 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Đề bài

Biết rằng các số đo rađian của ba góc của tam giác ABC là nghiệm của phương trình \(\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0.\) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

Lời giải chi tiết

Xét phương trình \(\tan x - \tan {x \over 2} - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0\)   (1)

Điều kiện: \(x\in\left( {0;\pi } \right)\)

Đặt \(t = \tan {x \over 2}\)  ta được:

\({{2t} \over {1 - {{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}}} - t - {{2\sqrt 3 } \over 3} = 0\)

Phương trình có nghiệm \(t = {1 \over {\sqrt 3 }}\)

Do đó: \(\tan {x \over 2} = {1 \over {\sqrt 3 }}\)

Phương trình (1) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) có một nghiệm duy nhất \(x = {\pi  \over 3}\)

Do đó ABC là tam giác đều.