Bài 1.48 trang 16 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải bài 1.48 trang 16 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình ...


Đề bài

Giải phương trình:

\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) \)\(= 3 - 4{\cos ^2}x\)

Lời giải chi tiết

\(\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin 2x + 1} \right) = 3 - 4{\cos ^2}x\)

\(\Leftrightarrow 4\sin x\sin 2x + 2\sin x - 2\sin 2x - 1= 3 - 4{\cos ^2}x\)

\(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x - 2=0\)

\(\Leftrightarrow 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x - 2\sin x\cos x - 2{\sin ^2}x = 0 \)

\(\Leftrightarrow \sin x\left[ {4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right] = 0\)

+) \(\sin x = 0 \)\(\Leftrightarrow x = k\pi\)

+) \(4\sin x\cos x + 1 - 2\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\)

Để giải phương trình (2), ta đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)

Khi đó \(2\sin x\cos x = {t^2} - 1\) và từ phương trình (2) ta có phương trình \(2{t^2} - 2t - 1 = 0\) với ẩn t.

Phương trình này có hai nghiệm \({t_1} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2},{t_1} = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}.\)

Cả hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)

Do đó 

\((2) \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x + \cos x = {t_1} \hfill \cr 
\sin x + \cos x = {t_2} \hfill \cr} \right.\)

\(\sin x + \cos x = {t_1}\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \alpha  + k2\pi \) với \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)

\(\sin x + \cos x = {t_1} \)\(\Leftrightarrow \cos \left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \)

\(\Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} \pm \beta  + k2\pi \) với \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}.\)

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm \(x = k\pi ,x={\pi  \over 4} \pm \alpha  + 2k\pi \) và \(x={\pi  \over 4} \pm \beta  + 2k\pi \) với \(\alpha \) và \(\beta \) là các số thỏa mãn \(\cos \alpha  = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\) và \(\cos \beta  = {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)

(chẳng hạn \(\alpha  = \arccos {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }},\beta  = \arccos {{1 + \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }}\)).

 



Bài giải liên quan

Từ khóa phổ biến