Bài 1.31 trang 12 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

Từ khẳng định (khi x thay đổi, hàm số \(y = \sin x\) nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)”, hãy chứng minh rằng: khi x thay đổi, hàm số  \(y = a\sin x + b\cos x\) (a, b là hằng số, \({a^2} + {b^2} \ne 0\)) lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right)\)

\(\begin{array}{l}
- 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1\\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\
\Rightarrow - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \le y \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}
\end{array}\)

Vậy hàm số y nhận mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{a^2} + {b^2}} ;\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \right]\)

LG b

Xét hàm số \(y = {{\sin x + \cos x - 1} \over {\sin x - \cos x + 3}}\).

Viết đẳng thức đó thành

\(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - 3y - 1\)

để suy ra rằng khi x thay đổi, hàm số trên lấy mọi giá trị y tùy ý thỏa mãn điều kiện.

\({\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( {3y + 1} \right)^2}\)

Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết:

Do \(\left| {\sin x - \cos x} \right| \le \sqrt 2 \) nên \(\sin x - \cos x + 3 \ne 0\) với mọi x.

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{\sin x + \cos x - 1}}{{\sin x - \cos x + 3}}\\
\Leftrightarrow y\sin x - y\cos x + 3y = \sin x + \cos x - 1\\
\Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - \left( {3y + 1} \right)
\end{array}\)

Với mọi giá trị y cho trước, biểu thức ở vế trái của đẳng thức này lấy mọi giá trị tùy ý thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} ;\sqrt {{{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} } \right].\) Đẳng thức trên cho thấy \( - \left( {3y + 1} \right)\) phải thuộc đoạn đó, tức là:

\({\left( {3y + 1} \right)^2} \le {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\)

Vậy với mọi y thỏa mãn điều kiện này, tồn tại x để

\(\left( {y - 1} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x =  - \left( {3y + 1} \right)\)

Để ý rằng bất đẳng thức trên tương đương với

\(7{y^2} + 6y - 1 \le 0\) tức là \( - 1 \le y \le {1 \over 7}\)

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là \({1 \over 7}\) và -1.

LG c

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\)

Lời giải chi tiết:

\(y = {{\cos x + 2\sin x + 3} \over {2\cos x - \sin x + 4}}\)

Ta có: \(\left| {2\cos x - \sin x} \right| \le \sqrt 5 ,\) nên \(2\cos x - \sin x + 4 \ne 0\) với mọi x.

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\\
\Leftrightarrow \cos x + 2\sin x + 3 = 2y\cos x - y\sin x + 4y\\
\Leftrightarrow \left( {y + 2} \right)\sin x + \left( {1 - 2y} \right)\cos x = 4y - 3
\end{array}\)

Để tồn tại cặp số (x;y) thì:

\({\left( {4y - 3} \right)^2} \le {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {1 - 2y} \right)^2}\)

Bất đẳng thức tương đương với \(11{y^2} - 24y + 4 \le 0\) tức là \({2 \over {11}} \le y \le 2\)

Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y theo thứ tự là 2 và \({2 \over {11}}\)