Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

LG a

a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)

Phương pháp giải:

Chuyển vế, đặt nhân tử chung. Đưa về phương trình mũ cơ bản: \(a^x=b\).

Lời giải chi tiết:

\({3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow {3^{\left( {x + 3} \right) + 1}} + {3.5^{x + 3}} - {5^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {{{3.3}^{x + 3}} - {3^{x + 3}}} \right) + \left( {{{3.5}^{x + 3}} - {5^{x + 4}}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {3^{x + 3}}\left( {3 - 1} \right) + {5^{x + 3}}\left( {3 - 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} - {2.5^{x + 3}} = 0\) \( \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow {3^{x + 3}} = {5^{x + 3}}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{x + 3}}}}{{{5^{x + 3}}}} = 1\) \(\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{x + 3}} = 1={\left( {\dfrac{3}{5}} \right)^{0}}\) \(\Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 3} \right\}\).

LG b

b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(t=5^x\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t.

Lời giải chi tiết:

\({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \(\Leftrightarrow {5^{2x}}-{6.5^x} + 5= 0\)

Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)).

Phương trình trở thành:

\({t^2} - 6t + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = 5\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}{5^x} = 1\\{5^x} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\).

LG c

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

Phương pháp giải:

Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\).

Lời giải chi tiết:

\({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \(16^x>0\) ta được:

\(4.{\left( {\dfrac{9}{{16}}} \right)^x} + {\left( {\dfrac{{12}}{{16}}} \right)^x} - 3 = 0 \) \(\Leftrightarrow 4.{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{2x}} + {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} - 3 = 0\)

Đặt \(t = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^x} (t > 0) \) ta được phương trình:

\(4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{3}{4}\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \) \(\Rightarrow x = {\log _{\frac{3}{4}}}\dfrac{3}{4} = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { 1} \right\}\)

LG d

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

Phương pháp giải:

Chuyển vế, đặt nhân tử chung.

Lời giải chi tiết:

\(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

Điều kiện: \(x > 1\) 

\(\eqalign{
& lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr 
& \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr 
{\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x - 1 = 7 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \(x = 8\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\)

LG e

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

Phương pháp giải:

Đưa các logarit về cùng cơ số 3, sử dụng công thức cộng các logarit có cùng cơ số: \({\log _a}x + {\log _a}y = {\log _a}\left( {xy} \right)\) (Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Lời giải chi tiết:

\({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

Điều kiện : \(x > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr 
& \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr 
& \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {\sqrt{3}^6} \cr 
& \Leftrightarrow x = 27 (tm)\cr} \) 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\)

LG g

g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Phương pháp giải:

Tìm ĐK.

\(\log f\left( x \right) = \log g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\log \displaystyle{{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\)

Khi đó \(\log \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = \log x \Leftrightarrow \dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} = x\) \( \Rightarrow x + 8 = x\left( {x - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\left( {TM} \right)\\x =  - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 4\).

Chú ý:

Phương trình \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\f\left( x \right) > 0\end{array} \right.\) hoặc \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = g\left( x \right)\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)

Do đó các em chỉ cần giải phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) và giải một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) > 0\) hoặc \(g\left( x \right) > 0\) (điều kiện nào đơn giản hơn thì ta giải).

Ta có thể trình bày lại câu d như sau:

Ta có:

\(\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr 
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\)