Bài 5 trang 56 SGK Giải tích 12

Chứng minh rằng:

LG a

a) \(\left ( \dfrac{1}{3} \right )^{2\sqrt{5}}\) < \(\left ( \dfrac{1}{3} \right )^{3\sqrt{2}}\);       

Phương pháp giải:

+) Đưa bài toán về dạng so sánh hai lũy thừa cùng cơ số: Với lũy thừa có cơ số lớn hơn \(1\) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì số đó lớn hơn.

Ngược lại, với lũy thừa có cơ số lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lũy thừa đó nhỏ hơn.

+) Sử dụng công thức:  \(A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}.B} .\)

+) So sánh hai căn bậc hai:  \(a > b > 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > \sqrt b .\)

Lời giải chi tiết:

\({\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{2\sqrt 5 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{3\sqrt 2 }}.\)
Ta có: \(2\sqrt 5 = \sqrt {{2^2}.5} = \sqrt {20} ;\;\;3\sqrt 2 = \sqrt {{3^2}.2} = \sqrt {18} .\)
Vì \(20 > 18 \Rightarrow \sqrt {20} > \sqrt {18} \Leftrightarrow 2\sqrt 5 > 3\sqrt 2 .\)
Lại có: \(0 < \dfrac{1}{3} < 1 \Rightarrow {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{2\sqrt 5 }} < {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^{3\sqrt 2 }}\) (đpcm)

LG b

b) \(7^{\sqrt[6]{3}}\) > \(7^{\sqrt[3]{6}}\)

Phương pháp giải:

+) Đưa bài toán về dạng so sánh hai lũy thừa cùng cơ số: Với lũy thừa có cơ số lớn hơn \(1\) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì số đó lớn hơn.

Ngược lại, với lũy thừa có cơ số lớn hơn \(0\) và nhỏ hơn \(1\) thì lũy thừa nào có số mũ lớn hơn thì lũy thừa đó nhỏ hơn.

+) Sử dụng công thức:  \(A\sqrt B  = \sqrt {{A^2}.B} .\)

+) So sánh hai căn bậc hai:  \(a > b > 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > \sqrt b .\)

Lời giải chi tiết:

\({7^{6\sqrt 3 }} > {7^{3\sqrt 6 }}.\)
Ta có: \(6\sqrt 3 = \sqrt {{6^2}.3} = \sqrt {108} ;\;\;3\sqrt 6 = \sqrt {{3^2}.6} = \sqrt {54} .\)
Vì \(108 > 54 \Rightarrow 6\sqrt 3 > 3\sqrt 6 .\)
Mà \(7 > 1 \Rightarrow {7^{6\sqrt 3 }} > {7^{3\sqrt 6 }}\) (đpcm)