Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.
Đề bài
Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác bằng nửa tích hai đường chéo và sin của góc hợp bởi hai đường chéo đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Chia tứ giác ABCD thành 4 tam giác nhỏ để tính diện tích mỗi tam giác đó.
- Cộng các kết quả với nhau suy ra đpcm.
Sử dụng công thức diện tích tam giác \[S = \frac{1}{2}ab\sin C\]
Lời giải chi tiết
Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC, BD\) và \(\widehat {AIB} = \alpha \).
Ta có \({S_{ABI}} = {1 \over 2}AI.BI.\sin \alpha \)
\({S_{ADI}} = {1 \over 2}AI.DI.\sin ({180^0} - \alpha ) \)
\(= {1 \over 2}AI.DI.\sin \alpha \)
(hai góc bù nhau có sin bằng nhau)
Suy ra \({S_{ABD}} = {S_{ABI}} + {S_{ADI}} \)
\( = \frac{1}{2}AI.BI.\sin \alpha + \frac{1}{2}AI.DI.\sin \alpha \)
\(= {1 \over 2}AI.(BI + DI).\sin \alpha \)
\(= {1 \over 2}AI.BD.\sin \alpha \)
Tương tự ta suy ra:
\({S_{BCD}} = {S_{BIC}} + {S_{CDI}}\)\( = {1 \over 2}CI.BD.\sin \alpha \)
Do đó,
\({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BCD}}\)
\( = \frac{1}{2}AI.BD.\sin \alpha + \frac{1}{2}CI.BD.\sin \alpha \)
\(= {1 \over 2}.BD.(AI + CI).\sin \alpha \)
\(= {1 \over 2}.BD.AC.\sin \alpha. \)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 32 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao timdapan.com"
