Giải bài 21 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao
Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức
Đề bài
Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \(ABC\) thỏa mãn hệ thức \(\sin A = 2\sin B.\cos C\) thì \(ABC\) là tam giác cân.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lí sin trong tam giác để tính sinA, sinB.
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)
Sử dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác để tính cosC:
\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Thay vào đẳng thức đã cho và biến đổi suy ra đpcm.
Lời giải chi tiết
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\\\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\end{array}\)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:
\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)
Thay vào hệ thức \(\sin A = 2\sin B\cos C\) ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \frac{{2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2R.2ab}}\\ \Leftrightarrow a.2R.2ab = 2R.2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow 0 = {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}\\ \Leftrightarrow b = c\end{array}\)
Vậy tam giác ABC cân tại A.
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Giải bài 21 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao timdapan.com"
