Bài 28 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Chứng minh rằng tam giác ABC vuông ở A
Đề bài
Chứng minh rằng tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\) khi và chỉ khi \(5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Từ đẳng thức đã cho, thay thế độ dài trung tuyến bởi công thức gồm các cạnh tam giác. Biến đổi tương đương để chứng tỏ các cạnh thoả mãn định lí Pytago.
Lời giải chi tiết
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\(\begin{array}{l}
5m_a^2 = m_b^2 + m_c^2\\
\Leftrightarrow 5.\left( {\frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \right)\\
= \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 5.\frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\
= \frac{{2\left( {{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2}}}{4} + \frac{{2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}}}{4}\\
\Leftrightarrow 10\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - 5{a^2}\\
= 2\left( {{c^2} + {a^2}} \right) - {b^2} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - {c^2}\\
\Leftrightarrow 10{b^2} + 10{c^2} - 5{a^2}\\
= 2{c^2} + 2{a^2} - {b^2} + 2{a^2} + 2{b^2} - {c^2}\\
\Leftrightarrow 9{b^2} + 9{c^2} - 9{a^2} = 0\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 0\\
\Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = {a^2}
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \) Tam giác \(ABC\) vuông ở \(A\).
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 28 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao timdapan.com"
