Bài 30 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). Chứng minh rằng:

\(A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2}\)\( = A{C^2} + B{D^2} + 4M{N^2}\).

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức tính trung tuyến, \(MN\) là trung tuyến của tam giác \(BMD\), ta có

\(M{N^2} = {{B{M^2} + D{M^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\)

\(\Leftrightarrow \,\,4M{N^2} = 2(B{M^2} + D{M^2}) - B{D^2}\)

Mà \(BM, DM\) lần lượt là trung tuyến của tam giác \(ABC, ADC\) nên

Cách khác:

* Áp dụng công thức trung tuyến của tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} = m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{4}\\ \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} = 2m_a^2 + \frac{{{a^2}}}{2}\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

* Áp dụng công thức (*)

Trong tam giác ABD ta có :

AB² + AD² = 2AN² + BD²/2 (1)

Trong tam giác CBD ta có :

CD² + CB² = 2CN² + BD²/2 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có :

AB² + BC² + CD² + DA²

= 2(AN² + CN²) + BD²(3)

Xét tam giác CAN ta có :

AN² + CN² = 2MN² + AC²/2 (4) (vì M là trung điểm AC)

Thay (4) vào (3) ta được :

AB² + BC² + CD² + DA²

= 2[2MN² + AC²/2] + BD² 

= AC² + BD² + 4MN²