Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao
Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Đề bài
Chứng minh rằng trong một hình bình hành, tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức trung tuyến tính AO trong tam giác ABD.
Từ đó suy ra mối quan hệ giữa các đường chéo và các cạnh trong hình bình hành.
Lời giải chi tiết
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.
=> O là trung điểm của AC và BD. (tính chất đường chéo hình bình hành).
Áp dụng công thức tính trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(ABD\), ta có
\(\eqalign{
& A{O^2} = {{A{B^2} + A{D^2}} \over 2} - {{B{D^2}} \over 4}\cr
& \Rightarrow \,\,\,4A{O^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) - B{D^2}\,\, \cr
& \Leftrightarrow {\left( {2AO} \right)^2} = 2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr&\Leftrightarrow A{C^2} = 2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) - B{D^2}\cr& \Rightarrow A{C^2} + B{D^2} = 2(A{B^2} + A{D^2}) \cr} \)
Mà ABCD là hình bình hành nên AB=CD, AD=BC. Do đó,
\(\begin{array}{l}
2\left( {A{B^2} + A{D^2}} \right) = 2A{B^2} + 2A{D^2}\\
= A{B^2} + A{B^2} + A{D^2} + A{D^2}\\
= A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}
\end{array}\)
Vậy \(A{C^2} + B{D^2} = A{B^2} + C{D^2} + A{D^2} + B{C^2}\)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 27 trang 66 SGK Hình học 10 nâng cao timdapan.com"
