Cho elip \((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\)
LG a
Xác định tọa độ hai tiêu điểm và các đỉnh của (E).
Giải chi tiết:
Ta có: \(a = 5\,,\,\,\,b = 3\,,\,\,c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = 4\)
Tọa độ các tiêu điểm của (E) là \({F_1}\,( - 4\,;\,0)\,,\,\,{F_2}\,(4\,;\,0)\) .
Tọa độ các đỉnh của (E) là \({A_1}( - 5\,;\,0)\,,\,\,{A_2}(5\,;\,0)\,,\,\,{B_1}(0\,;\, - 3)\,,\,\,{B_2}(0\,;\,3)\) .
LG b
Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của elip (E).
Phương pháp giải:
(H) nhận (-4, 0) và (4, 0) làm đỉnh thì \(a=4\).
(H) nhận (-5, 0) và (5, 0) làm tiêu điểm thì có \(c=5\).
\( \Rightarrow \,\,{b^2} = {c^2} - {a^2} = 25 - 16 = 9\,\,\, \Rightarrow \,\,\,b = 3\)
Vậy phương trình chính tắc của hypebol (H) là : \({{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1\)
LG c
Vẽ phác elip (E) và hypebol (H) nói ở câu b) trong cùng một hệ trục tọa độ.
Giải chi tiết:
Vẽ (E) và (H).
LG d
Viết phương trình của đường tròn đi qua các giao điểm của hai đường cônic nói trên.
Giải chi tiết:
Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1 \hfill \cr
{{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 9} = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
{x^2} = {{800} \over {41}} \hfill \cr
{y^2} = {{81} \over {41}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy (E) và (H) cắt nhau tại 4 điểm có tọa độ thỏa phương trình \({x^2} + {y^2} = {{881} \over {41}}\)
Vậy đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H) có phương trình là \({x^2} + {y^2} = {{881} \over {41}}\)