Lý thuyết hàm số mũ, hàm số lôgarit

1. Định nghĩa


1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng y= ax, hàm số lôgarit là hàm số có dạng  y = logax ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ y= ax ( a > 0, a# 1).

- Tập xác định: \(\mathbb{R}\).

- Đạo hàm: \(∀x ∈\mathbb{R},y'= a^x \ln a\).

- Chiều biến thiên          

    +) Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến

    +) Nếu 0< a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: trục Ox là tiệm cận ngang.

- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành (  y= ax  > 0, ∀x), và luôn cắt trục tung tại điểm ( 0;1) và đi qua điểm (1;a).

3. Tính chất của hàm số lôgarit y = logax (a> 0, a# 1).

- Tập xác định: \((0; +∞)\).

- Đạo hàm \(∀x ∈ (0; +∞),y'= \dfrac{1}{x\ln a}\).

- Chiều biến thiên:  

    +) Nếu a> 1 thì hàm số luôn đồng biến

     +) Nếu 0< a < 1 thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: Trục Oy là tiệm cận đứng.

- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm (1;0) và đi qua điểm (a;1).

4. Chú ý 

- Nếu \(a > 1\) thì \(\ln a > 0\), suy ra (ax) > 0,∀x và (logax) > 0, ∀x > 0; 

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu \(0 < a< 1\) thì \(\ln a < 0\), (ax) < 0 và (logax) < 0, ∀x > 0; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

\( (\ln  |x|)'= \dfrac{1}{x}, ∀x \ne 0\) và (loga|x|) = \(\dfrac{1}{x \ln a}\), ∀x\(\ne\) 0.


Bài học bổ sung


Bài học liên quan