Lý thuyết giá trị lượng giác của một cung

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung \(\overparen{PQ}\) có số đo \(sđ\overparen{PQ}= α\) thì:

+ Tung độ của \(M\) gọi là \(\sin\) của \(α\), kí hiệu \(\sin α\): \(\overline {OQ}= \sinα\)

+ Hoành độ của \(M\) gọi là cosin của \(α\), kí hiệu là \(\cosα\): \(\overline {OP}= \cosα\)

+ Nếu \(cosα \ne 0\), ta gọi là tang của \(α\), kí hiệu \(tanα\) là tỉ số: \({{\sin \alpha } \over {cos\alpha }} = \tan \alpha \)

+ Nếu \(\sinα \ne 0\), ta gọi là cotang của \(α\), kí hiệu là: \({{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }} = \cot \alpha \)

Ghi chú: Vì \(sđ\overparen{AM} =sđ\overparen{(OA, OM)}\) nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác \(α\) cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác \(α\).

2. Hệ quả

a) \(-1 ≤ sinα ≤ 1, -1 ≤ cosα ≤ 1 ;\)\(∀α \in\mathbb R\) 

\(\sin(α + k2π) = \sinα ;∀k \in \mathbb R\)

\(cos(α + k2π) = cosα ,∀k \in\mathbb R\)

b) \(tanα\) xác định với mọi \\(α \ne {\pi\over 2} + kπ, k \in\mathbb Z\)

\(cotα\) xác định với mọi \(α \ne kπ, k \in\mathbb Z\)

                \(tan(α + kπ) = tanα ,∀k\in\mathbb R\)

               \( cot(α + kπ) = cotα ,∀k \in\mathbb R\)

c) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

d) Các hệ thức lượng giác cơ bản:

\(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}1\);                 \(tanα.cotα = 1\)

\(1 + {\tan ^2}\alpha  = {1 \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}\)     

\(1 + {\cot ^2}\alpha  = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\)

3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

a) Cung đối nhau: \(α\) và \((-α)\)

\(sin(-α) = -sinα \)                   \(  tan(-α) = -tanα\)

\(cos(-α) = cosα\)                       \(cot(-α) = -cotα\)

b) Cung bù nhau: \(α\) và \(π - α\)

\(sin(π - α) = sinα\)                         \(tan(π - α) = -tanα\)

\(cos(π - α) = -cosα\)                            \(cot(π - α) = -cotα\)

c) Cung hơn nhau \(π\): \(α\) và \(π + α\) 

\(sin(π + α) = -sinα\)                   \(tan(π + α) = tanα\)

\(cos(π + α) = -cosα\)                 \(cot(π + α) = cotα\)

d) Cung phụ nhau: \(α\) và \({\pi  \over 2} - \alpha \)

\(sin\left( {{\pi  \over 2} - \alpha } \right) = cosα\)                                \(tan\left( {{\pi  \over 2} - \alpha } \right)= cosα\)

\(cos \left( {{\pi  \over 2} - \alpha } \right) = sinα  \)                              \(cos=\left( {{\pi  \over 2} - \alpha } \right) = tan α\)