Bài 4 trang 148 SGK Đại số 10

Tính các giá trị lượng giác của góc \(α\), nếu:

LG a

\(\cosα = \dfrac{4}{13}\) và \(0 < α < \dfrac{\pi }{2}\);

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1,\;\;\tan \alpha .\cot \alpha  = 1,\) \(\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\;\;\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}.\)

Lời giải chi tiết:

Do \(0 < α <  \dfrac{\pi}{2}\) nên \(\sinα > 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha \\ = 1 - {\left( {\dfrac{4}{{13}}} \right)^2} = \dfrac{{153}}{{169}}\\ \Rightarrow \sin \alpha  = \sqrt {\dfrac{{153}}{{169}}}  = \dfrac{{3\sqrt {17} }}{{13}}\\\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{4}{{13}}:\dfrac{{3\sqrt {17} }}{{13}} = \dfrac{{4\sqrt {17} }}{{51}}\\\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{3\sqrt {17} }}{{13}}:\dfrac{4}{{13}} = \dfrac{{3\sqrt {17} }}{4}\end{array}\)

LG b

\(\sin α = -0,7\) và \(π < α <  \dfrac{3\pi }{2}\);

Lời giải chi tiết:

\(π < α <  \dfrac{3\pi }{2}\) nên \( \cosα < 0 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\\ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha \\ = 1 - {\left( { - 0,7} \right)^2} = 0,51\\ \Rightarrow \cos \alpha  =   - \dfrac{{\sqrt {51} }}{{10}}  \\\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \dfrac{{ - 0,7}}{- \dfrac{{\sqrt {51} }}{{10}} } = \dfrac{7}{{\sqrt {51} }}\\\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}  = \dfrac{{\sqrt {51} }}{7}\end{array}\).

LG c

\(\tan α =  -\dfrac{15}{7}\) và \( \dfrac{\pi }{2} < α < π\);

Lời giải chi tiết:

\( \dfrac{\pi }{2} < α < π\) nên \(\sinα > 0, \cosα < 0,\) \( \tan α < 0, \cot α < 0 \)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\ \Rightarrow \cot \alpha  = \dfrac{1}{{\tan \alpha }} = \dfrac{1}{{ - \dfrac{{15}}{7}}} =  - \dfrac{7}{{15}}\\\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \\ \Rightarrow {\cos ^2}\alpha  = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\ = \dfrac{1}{{1 + {{\left( { - \dfrac{{15}}{7}} \right)}^2}}} = \dfrac{{49}}{{274}}\\ \Rightarrow \cos \alpha  =  - \dfrac{7}{{\sqrt {274} }}\\\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\ \Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha \\ =  - \dfrac{{15}}{7}.\left( { - \dfrac{7}{{\sqrt {274} }}} \right) = \dfrac{{15}}{{\sqrt {274} }}\end{array}\)

LG d

\(\cotα = -3\) và \( \dfrac{3\pi }{2} < α < 2π\).

Lời giải chi tiết:

 Vì \( \dfrac{3\pi}{2} < α < 2π\) nên \(\sinα < 0, \cosα > 0,\)\( \tanα < 0, \cotα < 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\tan \alpha .\cot \alpha  = 1\\ \Rightarrow \tan \alpha  = \dfrac{1}{{\cot \alpha }} = \dfrac{1}{{ - 3}} =  - \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \\ \Rightarrow \cos ^2 \alpha = \dfrac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}\\ = \dfrac{1}{{1 + {{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)}^2}}} = \dfrac{9}{{10}}\\ \Rightarrow  \cos \alpha  = \dfrac{{3 }}{\sqrt {10} }\\\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\\ \Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha \\ =  - \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3 }}{\sqrt {10} } =  - \dfrac{{1}}{\sqrt {10} }\end{array}\)