Lý thuyết dấu của tam thức bậc hai

1. Tam thức bậc hai (một ẩn) là đa thức có dạng \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\) trong đó \(x\) là biến \(a, b, c\) là các số đã cho, với \(a ≠ 0\).

Định lí. Cho tam thức bậc hai \(f(x) = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c(a \ne 0)\) có biệt thức    \(∆ = b^2– 4ac\).

- Nếu \(∆ < 0\) thì với mọi \(x, f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\).

- Nếu \(∆ = 0\) thì \(f(x)\) có nghiệm kép \(x = -\frac{b}{2a}\), với mọi \(x ≠ -\frac{b}{2a}\), \(f(x)\) có cùng dấu với hệ số \(a\).

- Nếu \(∆ > 0, f(x)\) có \(2\) nghiệm \({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})\) và luôn cùng dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) ngoài đoạn \({\rm{[}}{x_1};{x_2}{\rm{]}}\) và luôn trái dấu với hệ số \(a\) với mọi \(x\) trong đoạn \(({x_1};{x_2})\)

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn.

Là mệnh đề chứa một biến có một trong các dạng: 

\(a{x^2} + bx + c > 0,a{x^2} + bx + c < 0,\)\(a{x^2} + bx + c \ge 0,a{x^2} + bx + c \le 0\), trong đó vế trái là một tam thức bậc hai.

Để giải bất phương trình bậc hai một ẩn ta dùng định lí về dấu của tam thức bậc hai.