Lý thuyết dấu của nhị thức bậc nhất

1. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất

a) Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất một ẩn \(x\) là biểu thức dạng \(f(x) = ax +b\) trong đó \(a, b\) là hai số đã cho, \(a ≠ 0\).

b) Định lý về dấu của nhị thức bậc nhất

Nhị thức \(f(x) = ax + b (a ≠ 0)\) cùng dấu với hệ số \(a\) khi \(x\) lấy giá trị trong khoảng \(\left ( -\frac{b}{a}; +\infty \right )\) và trái dấu với hệ số \(a\) khi \(x\) lấy các giá trị trong khoảng \(\left ( -\infty ; -\frac{b}{a} \right ).\) Nội dung định lí được mô tả trong bảng sau, gọi là bảng xét dấu của \(f(x) = ax + b\) như sau:

c) Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất

Giả sử \(f\left( x \right)\) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong \(f\left( x \right)\) ta suy ra được dấu của \(f\left( x \right).\) Trường hợp \(f\left( x \right)\) là một thương cũng được xét tương tự.

2. Áp dụng vào giải bất phương trình

Giải bất phương trình \(f\left( x \right) > 0\) thực chất là xét xem biểu thức \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương với những giá trị nào của \(x\) (do đó cũng biết \(f\left( x \right)\) nhận giá trị âm với những giá trị nào của \(x\)), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức \(f\left( x \right).\)

a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Phương pháp chung:

- Đặt điều kiện và quy đồng mẫu thức các phân phức.

- Xét dấu các nhị thức bậc nhất và kết luận nghiệm.

b) Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đối ta có thể dễ dàng giải các bất phương trình dạng \(\left| {f\left( x \right)} \right| \le a\) và \(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge a\) với \(a > 0\) đã cho.

Với \(a>0\) ta có:

\(\left| {f\left( x \right)} \right| \le a \Leftrightarrow  - \,a \le f\left( x \right) \le a\)

\(\left| {f\left( x \right)} \right| \ge a \Leftrightarrow f\left( x \right) \le  - \,a\) hoặc \(f\left( x \right) \ge a\)