Bài 2 trang 94 SGK Đại số 10

Giải các bất phương trình

LG a

\(\dfrac{2}{x-1}\leq \dfrac{5}{2x-1};\)

Phương pháp giải:

- Biến đổi bất phương trình về dạng: f(x) > 0 hoặc f(x) < 0.

- Xét dấu của biểu thức f(x), để biết biểu thức f(x) nhận giá trị dương, âm với những giá trị nào của x.

Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất được thể hiện qua bảng sau:

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{2}{x-1}\leq \dfrac{5}{2x-1}\) 

\( \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x - 1}} - \dfrac{5}{{2x - 1}} \le 0\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{2\left( {2x - 1} \right) - 5\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \le 0\) \(  \Leftrightarrow \dfrac{{4x - 2 - 5x + 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \le 0\) \(  \Leftrightarrow \dfrac{{ - x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}} \le 0\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{ - x + 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
 - x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\\
x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
\left( {\dfrac{1}{2} < 1 < 3} \right)
\end{array}\)

Tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left ( \dfrac{1}{2};1 \right ) ∪ [3; +∞)\).

LG b

\(\dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{(x-1)^{2}};\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 2x + 1 - x - 1}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0
\end{array}\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x = 0\\
x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3\\
x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\
{\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\\
\left( { - 1 < 0 < 1 < 3} \right)
\end{array}\)

Xét dấu của \(f(x)\) ta được bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = (-∞; - 1) ∪ (0; 1) ∪ (1; 3)\).

LG c

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x+4}<\dfrac{3}{x+3};\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} < \dfrac{3}{{x + 3}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} - \dfrac{3}{{x + 3}} < 0\end{array}\)  

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{2x\left( {x + 3} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) \( - \dfrac{{3x\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 3} \right) + 2x\left( {x + 3} \right) - 3x\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 7x + 12 + 2{x^2} + 6x - 3{x^2} - 12x}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{x + 12}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} < 0\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{x + 12}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

Bảng xét dấu:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
x = 0\\
x + 12 = 0 \Leftrightarrow x =  - 12\\
x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4\\
x + 3 = 0 \Leftrightarrow x =  - 3
\end{array}\)

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left ( -12;-4 \right ) ∪ (-3; 0)\).

LG d

\(\dfrac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}<1.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} < 1\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 1}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 1}} < 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{{ - 3x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0
\end{array}\)

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{ - 3x + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\\
x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\\
x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1
\end{array}\)

Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left ( -1;\dfrac{2}{3} \right ) ∪ (1; +∞)\).