Bài 3 trang 105 SGK Đại số 10

Giải các bất phương trình sau

LG a

\(4{x^2} - x + 1 < 0\);  

Phương pháp giải:

Sử dụng cách xét dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai để giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Tam thức \(f(x) =4{x^2} - x + 1 < 0\) có hệ số \(a = 4 > 0\) biệt thức \(∆ = (-1)^2- 4.4.1=-15 < 0\).

Do đó \(f(x) > 0 ,∀x ∈\mathbb R\). 

Vậy bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\) vô nghiệm.

Cách khác:

\(4{x^2} - x + 1 \) \(= {\left( {2x} \right)^2} - 2.2x.\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{{15}}{{16}} \) \( = {\left( {2x - \dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{{16}} \ge \dfrac{{15}}{{16}} > 0, \forall x\in R\)

Do đó bpt \(4{x^2} - x + 1 < 0\) vô nghiệm.

LG b

\( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\);

Lời giải chi tiết:

\( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\)

Ta xét: \(f(x) = - 3{x^2} + x + 4 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Ta có bảng xét dấu: 

Do đó: \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le {4 \over 3}.\)

LG c

\(\dfrac{1}{x^{2}-4}<\dfrac{3}{3x^{2}+x-4};\)

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{1}{x^{2}-4}<\dfrac{3}{3x^{2}+x-4}\)  

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{x^{2}-4}-\dfrac{3}{3x^{2}+x-4}< 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2} + x - 4 - 3{x^2} + 12}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {3{x^2} + x - 4} \right)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{x+8}{(x^{2}-4)(3x^{2}+x-4)}< 0\)

Lập bảng xét dấu vế trái:

+ Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8

+ Tam thức x² – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0

Do đó x² – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2.

+ Tam thức 3x² + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0.

Do đó 3x² + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1, mang dấu – khi -4/3 < x < 1.

Bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình \(S = (-∞; - 8) ∪ \left(- 2; -\dfrac{4}{3}\right) ∪ (1; 2)\).

LG d

\(x^2- x - 6 ≤ 0\).

Lời giải chi tiết:

\(x^2- x - 6 ≤ 0\)

\(x^2- x - 6 =0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr 
x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có bảng xét dấu:

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S =[- 2; 3]\).