Bài 63* trang 166 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với \(BC\) tại \(D.\) Chứng minh rằng: \({S_{ABC}} = BD.DC\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là tiếp điểm của đường tròn với \(AB\) và \(AC.\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(AE = AF\) 

\( BE = BD\)

\( CD = CF\)

Ta lại có: \(BD = BC - CD\)

\( BE = AB – AE\)

Suy ra: \(BD + BE = AB + BC – (AE + CD )\)

\( = AB + BC – (AE + CE)\)

\(= AB + BC – AC\)

Suy ra: \(BD =\displaystyle {{AB + BC - AC} \over 2}\)

Lại có: \(CD = BC – BD\)

\( CF = AC = AF\)

Suy ra: \(CD + CF \)\(= BC + AC – ( BD + AF)\)

\(= BC + AC – (BE + AE)\)

\(= BC + AC – BA\)

Suy ra: \(CD = \displaystyle {{BC + AC - AB} \over 2}\)

Ta có:  \(BD.CD\)\( =\displaystyle  {{AB + BC - AC} \over 2}.{{BC + AC - AB} \over 2}\)

\(\displaystyle = {{\left[ {BC - (AC - AB)} \right]\left[ {BC + (AC - AB)} \right]} \over 4}\)

\(\displaystyle ={{B{C^2} - {{(AC - AB)}^2}} \over 4}\)

\( = \displaystyle {{B{C^2} - A{C^2} - A{B^2} + 2AB.AC} \over 4}\)  \((1)\)

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \(ABC,\) ta có:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2  \;\;         (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(BD.CD = \displaystyle {{2AB.AC} \over 4} \)\(= {{AB.AC} \over 2}\)

Mà \({S_{ABC}} = \displaystyle {1 \over 2}AB.AC\)

Vậy \({S_{ABC}} = BD.DC.\)