Bài 62* trang 166 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Vẽ các tiếp tuyến \(Ax, By\) \((Ax, By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Qua một điểm \(M\) thuộc nửa hình tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt \(Ax,\) \(By\) theo thứ tự ở \(C, D.\) Gọi \(N\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC, H\) là giao điểm của \(MN\) và \(AB.\) Chứng minh rằng:

\(a)\)  \(MN ⊥ AB;\)

\(b)\) \(MN = NH.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

\(Ax ⊥ AB\)

\(By ⊥ AB\)

Suy ra: \(Ax // By\) hay \(AC // BD\)

Trong tam giác \(BND,\) ta có: \(AC // BD\)

Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BD} \over {AC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)      \((1)\)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

\(AC = CM\) và \(BD = DM       \;\;   (2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)

Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{MD} \over {MC}}\)

Suy ra: \(MN // AC\) ( Theo định lí đảo định lí Ta-lét)

Mà: \(AC ⊥ AB\) \((\)vì \(Ax ⊥ AB)\)

Suy ra: \(MN ⊥ AB\)

\(b)\) Trong tam giác \(ACD,\) ta có: \(MN // AC\)

Suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{DN} \over {DA}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)     \((3)\)

Trong tam giác \(ABC,\) ta có: \(MH // AC\) ( vì \(M, N, H\) thẳng hàng)

Suy ra: \(\displaystyle{{HN} \over {AC}} = {{BN} \over {BC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)       \((4)\)

Trong tam giác \(BDN,\) ta có: \(AC // BD\)

Suy ra: \(\displaystyle{{ND} \over {NA}} = {{BN} \over {NC}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)

\(\displaystyle \Rightarrow {{ND} \over {DN + NA}} = {{BN} \over {BN + NC}}\)

\(\displaystyle \Leftrightarrow {{ND} \over {DA}} = {{BN} \over {BC}}\)           \((5)\)

Từ \((3), (4)\) và \((5)\) suy ra: \(\displaystyle{{MN} \over {AC}} = {{HN} \over {AC}} \Rightarrow MN = HN\).