Bài 61* trang 166 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho nửa hình tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB.\) Vẽ các tiếp tuyến \(Ax, By\) \((Ax, By\) và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ \(AB).\) Gọi \(M\) là một điểm bất kì thuộc nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại \(M\) cắt \(Ax,\) \(By\) theo thứ tự ở \(C, D.\)

\(a)\) Chứng minh rằng đường tròn có đường kính \(CD\) tiếp xúc với \(AB.\)

\(b)\) Tìm vị trí của điểm \(M\) để hình thang \(ABDC\) có chu vi nhỏ nhất.

\(c)\) Tìm vị trí của \(C, D\) để hình thang \(ABDC\) có chu vi bằng \(14cm,\) biết \(AB = 4cm.\)

Lời giải chi tiết

\(a)\) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

\(Ax ⊥ AB\)

\(By ⊥ AB\)

Suy ra: \(Ax // By\) hay \(AC // BD\)

Suy ra tứ giác \(ABDC\) là hình thang

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CD\)

Khi đó \(OI\) là đường trung bình của hình thang \(ABDC\)

Suy ra: \(OI // AC ⇒ OI ⊥ AB\)

Vì \(OC\) và \(OD\) lần lượt là phân giác của \(\widehat {AOM}\) và \(\widehat {BOM}\) nên \(OC ⊥ OD\) ( tính chất hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \)

Suy ra: \(IC = ID = IO = {1 \over 2}CD\) ( tính chất tam giác vuông)

Suy ra \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(CD.\) Khi đó \(O\) nằm trên đường tròn tâm \(I\) đường kính \(CD\) và \(IO\) vuông góc với \(AB\) tại \(O.\)

Vậy đường tròn có đường kính \(CD\) tiếp xúc với \(AB\) tại \(O.\)

\(b)\) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

\(CA = CM\)

\(BD = DM\)

Suy ra: \(AC + BD = CM + DM = CD\)

Chu vi hình thang \(ABDC\) bằng:

\(AB + BD + DC + CA = AB + 2CD\)

Vì đường kính \(AB\) của \((O)\) không thay đổi nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi \(CD\) nhỏ nhất.

Ta có: \(CD ≥ AB\) nên \(CD\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(CD = AB\)

Khi đó \(CD // AB ⇔ OM ⊥ AB\)

Vậy khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) với nửa đường tròn \((O)\) thì hình thang \(ABDC\) có chu vi nhỏ nhất.

\(c)\) Chu vi hình thang \(ABDC\) bằng: \(AB + 2CD\) (chứng minh trên)

Suy ra: \(14 = 4 + 2.CD ⇒ CD = 5 (cm)\)

Hay \(CM + DM = 5 \)\(⇒ DM = 5 – CM    \;  (1)\)

Tam giác \(COD\) vuông tại \(O\) có \(OM ⊥ CD\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

\(OM^2= CM.DM \)\(⇔ 2^2 = CM.DM \)\(⇔ 4 = CM.DM  \;\;  (2)\)

Thay \((1)\) và \((2)\) ta có: \(CM.(5 – CM) = 4\)

\(⇔ 5CM – CM^2 – 4 = 0\) 

\(⇔ 4CM – CM^2 + CM – 4 = 0\)

\(⇔ CM(4 – CM) + (CM – 4) = 0\)

\(⇔ CM(4 – CM) – (4 – CM) = 0\)

\(⇔ (CM – 1)(4 – CM) = 0\)

\(⇔ CM – 1 = 0\) hoặc \(4 – CM = 0\)

\(⇔CM = 1\) hoặc \(CM = 4\)

Vì \(CM = CA\) (chứng minh trên) nên \(AC = 1 (cm)\) hoặc \(AC = 4 (cm)\)

Vậy điểm \(C\) cách điểm \(A\) là \(1cm\) hoặc \(4cm\) thì hình thang \(ABDC\) có chu vi bằng \(14.\)