Bài 3.71 trang 169 SBT hình học 10

Đề bài

Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {1;4} \right)\) xuống đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 2 = 0\) có tọa độ là:

A. \(\left( {3;0} \right)\) 

B. \(\left( {0;3} \right)\) 

C. \(\left( {2;2} \right)\) 

D. \(\left( {2; - 2} \right)\)

Lời giải chi tiết

\(\Delta :x - 2y + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2y - 2\) nên cho \(y=t\) thì \(x=2t-2\).

Gọi \(H\left( {2t - 2;t} \right) \in \Delta \)\( \Rightarrow \overrightarrow {MH}  = \left( {2t - 3;t - 4} \right)\).

\(MH \bot \Delta  \Leftrightarrow \overrightarrow {MH}  = k\overrightarrow {{n_\Delta }} \) \( \Leftrightarrow \dfrac{{2t - 3}}{1} = \dfrac{{t - 4}}{{ - 2}}\) \( \Leftrightarrow  - 4t + 6 = t - 4\) \( \Leftrightarrow  - 5t =  - 10 \Leftrightarrow t = 2\) 

Vậy \(H\left( {2;2} \right)\).

Chọn C.

Cách khác: Thử đáp án

Điểm C(2;2) có tọa độ thỏa mãn phương trình đường thẳng Δ: x – 2y + 2 = 0.

Ta lại có \(\overrightarrow {MC}  = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \left( {1; - 2} \right)\) suy ra MC vuông góc với Δ.

Vậy C(2;2) là hình chiếu vuông góc của M xuống Δ.

Đáp án: C