Bài 3.65 trang 168 SBT hình học 10

Đề bài

Cho ba điểm \(A\left( {1;4} \right)\), \(B\left( {3;2} \right),C\left( {5;4} \right)\). Tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là:

A. \(\left( {2;5} \right)\) 

B. \(\left( {\dfrac{3}{2};2} \right)\) 

C. \(\left( {9;10} \right)\)

D. \(\left( {3;4} \right)\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là tâm đường tròn, khi đó \(IA = IB = IC\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{B^2} = I{C^2}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} = {\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {2 - y} \right)^2}\\{\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {2 - y} \right)^2} = {\left( {5 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2}\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 1 - 8y + 16 =  - 6x + 9 - 4y + 4\\ - 6x + 9 - 4y + 4 =  - 10x + 25 - 8y + 16\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 4y + 4 = 0\\4x + 4y - 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\) 

Vậy \(I\left( {3;4} \right)\).

Chọn D.

Cách khác:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BA}  = \left( { - 2;2} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;2} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  =  - 2.2 + 2.2 = 0\\ \Rightarrow BA \bot BC\end{array}\)

Suy ra tam giác ABC vuông tại B.

Đường tròn ngoại tiếp có tâm là trung điểm I của AC nên có tọa độ (3;4).

Đáp án: D