Bài 1.54 trang 41 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tập giá trị của hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2\) là

A. \(\left[{2;5}\right]\)

B. \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\)

C. \(\left[{\dfrac{4}{3};3+\sqrt{3}}\right]\)

D. \(\left[{\dfrac{5}{4};4}\right]\)

Lời giải chi tiết

Vì \(y = \sin x\) có \( - 1 \le \sin x \le 1,\forall x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(u=\sin x\) khi đó \(-1\le u\le 1\) 

Hàm số \(y={\sin}^2 x+\sqrt{3}\sin x+2 \)

\(\Leftrightarrow y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

- Tìm giá trị lớn nhất

Ta có \(-1\le u\le 1\) nên \(u^2\le 1\) và \(u\le1\)

Nên khi đó \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\le 1+\sqrt{3}.1+2\)

\(=3+\sqrt{3}\)

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị lớn nhất là \(3+\sqrt{3}\) tại \(u=1\)\(\Leftrightarrow \sin x=1\).

- Tìm giá trị nhỏ nhất

Hàm số \(y=u^2 +\sqrt{3}u+2\)

\(=\left[{u^2+2u\dfrac{\sqrt{3}}{2}+{\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2}\right]-\)

\({\left({\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+2\)

\(={\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2+\dfrac{5}{4}\)

Do \({\left({u+\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^2 \ge 0\) khi đó

\(y\ge \dfrac{5}{4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\dfrac{5}{4}\) đạt được khi \(x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Vậy tập giá trị của hàm số là \(\left[{\dfrac{5}{4};3+\sqrt{3}}\right]\)