Câu 3.72 trang 154 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục tung mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

LG a

\(x = {{\sqrt {2y} } \over {{y^2} + 1}},y = 0,y = 1\)

Giải chi tiết:

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{2y} \over {{{\left( {{y^2} + 1} \right)}^2}}}dy = } {\pi  \over 2}\)

LG b

\(x = 2x - {x^2},y = 0,x = 2\)

Giải chi tiết:

Ta có \(x = 1 + \sqrt {1 - y} \) hoặc \(x = 1 - \sqrt {1 - y} \). Vậy

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} dy - \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} dy \)

     \(= 4\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - y} dy = {{8\pi } \over 3}} \)

LG c

Hình tròn có tâm \(I\left( {2;0} \right)\), bán kính  = 1

Giải chi tiết:

Ta có \(x = 2 + \sqrt {1 - {y^2}} \)  hoặc \(x = 2 - \sqrt {1 - {y^2}} \). Vậy

\(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2 + \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2}} dy\)

       \(- \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {2 - \sqrt {1 - {y^2}} } \right)}^2}} dy \)

\(= 16\pi \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {y^2}} dy = 4{\pi ^2}} \)

Để tính tích phân trên ta đổi biến \(y = \sin t\)