Các dạng toán về ứng dụng của tích phân trong hình học

1. Ứng dụng của tích phân trong hình học (diện tích hình phẳng)

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng nếu biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ được tính bởi công thức:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} $

- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$được tính bởi công thức:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $

Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng nếu chưa biết hai đường giới hạn

Phương pháp:

- Bước 1: Giải phương trình $f\left( x \right) = g\left( x \right)$ tìm nghiệm.

- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức $\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|$

- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân:

$S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} $

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ và các trục tọa độ. Chọn kết quả đúng nhất.

A. $3\ln 6$

B. $3\ln \dfrac{3}{2}$

C. $3\ln \dfrac{3}{2} - 2$

D.$3\ln \dfrac{3}{2} - 1$

Giải:

Đồ thị hàm số cắt $Ox$ tại $\left( {-1;0} \right)$, cắt $Oy$ tại $\left( {0; - \dfrac{1}{2}} \right)$.

Hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ có $y' = \dfrac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)$ nên hàm số $y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}$ nghịch biến trên $\left( {-1;0} \right)$.

Do đó $y < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)$

Do đó $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right|} dx = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( { - \dfrac{{x + 1}}{{x - 2}}} \right)} dx = - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {1 + \dfrac{3}{{x - 2}}} \right)} dx $

$= - \left( {x + 3\ln \left| {x - 2} \right|\mathop |\nolimits_{ - 1}^0 } \right) = - 3\ln 2 - 1 + 3\ln 3 = 3\ln \dfrac{3}{2} - 1$

Chọn D.

2. Ứng dụng của tích phân trong hình học (thể tích vật thể)

Dạng 1: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a,x = b\left( {a < b} \right)$ quanh trục $Ox$

Công thức tính:

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx} $

Dạng 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $x = f\left( y \right)$, trục $Oy$ và hai đường thẳng $y = a,y = b\left( {a < b} \right)$ quanh trục $Oy$.

Công thức tính:

$V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( y \right)dy} $

Dạng 3: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right],0 \le f\left( x \right) \le g\left( x \right),\forall x \in \left[ {a;b} \right]$ quay quanh trục $Ox$

Công thức tính:

$V = \pi \int\limits_a^b {\left[ {{g^2}\left( x \right) - {f^2}\left( x \right)} \right]dx} $

Dạng 4 ( Đọc thêm ): Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng $x = a,x = b$ biết diện tích thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc trục $Ox$ là $S = S\left( x \right)$.

Công thức tính:

$V = \int\limits_a^b {S\left( x \right)dx} $

Chú ý:

Khi miền $D$ giới hạn bởi nhiều đồ thị hàm số thì ta nên vẽ hình, sau đó từ hình vẽ suy ra cách tính.

Ví dụ: Cho đường cong $y = - {x^2} + 1$ và đường thẳng $y = 0$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi hai đường trên quanh $Ox$.

Ta có: $ - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.$