Bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục \(Ox\):

LG a

a) \(y = 1 - x^2\), \(y = 0\);

Phương pháp giải:

Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số  \(y = f\left( x \right);y = g\left( x \right) \, \) và hai đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, \, \, (a<b).\) Khi quay hình phẳng trên quanh trục \(Ox\) ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức:  \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(1 - x^2= 0 ⇔ x = ±1\).

Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là:

\(V=\pi \int_{-1}^{1}(1-x^{2})^{2}dx=2\pi \int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx\)

\(=2\pi \left (\dfrac{x^{5}}{5}- \dfrac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}\) \(=2\pi\left ( \dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}+1 \right )=\dfrac{16\pi}{15}.\)

LG b

b) \(y = \cos x, y = 0, x = 0, x = π\);

Lời giải chi tiết:

Thể tích cần tìm là:

\(V= \pi \int_{0}^{\pi }\cos^{2}xdx \) \(=\dfrac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+\cos 2x)dx\)

\(=\dfrac{\pi }{2}\left (x+\dfrac{1}{2}\sin 2x \right )|_{0}^{\pi }=\dfrac{\pi }{2}.\pi =\dfrac{\pi ^{2}}{2}\)

LG c

c) \(y = \tan x, y = 0, x = 0\), \(x=\dfrac{\pi }{4}\);

Lời giải chi tiết:

Thể tích cần tìm là:

\(V=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\tan^{2}xdx\) \(=\pi\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }\left (\dfrac{1}{\cos^{2}x}-1 \right )dx\)

\(=\pi \left (\tan x-x \right )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\pi (1-\dfrac{\pi }{4})\)

\(=\dfrac{\pi(4-\pi)}{4}\).