Bài 9 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

LG a

Giả sử phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂.

Chứng minh rằng:  ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\eqalign{
& a{x^2} + {\rm{ }}bx + c = 0 \cr& = a({x^2} + {b \over a}x + {c \over a}) \cr&= a\left( {{x^2} - \left( { - \frac{b}{a}} \right)x + \frac{c}{a}} \right)\cr& = a{\rm{[}}{{{x}}^2} - ({x_1} + {x_2})x + {x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr 
& = a\left( {{x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right) \cr&= a\left[ {\left( {{x^2} - {x_1}x} \right) - \left( {{x_2}x - {x_1}{x_2}} \right)} \right]\cr&= a{\rm{[x(x}}\,{\rm{ - }}\,{{\rm{x}}_1}) - {x_2}(x\, - \,{x_1}){\rm{]}} \cr&= a(x - {x_1})(x - {x_2}) \cr} \)

Cách khác:

Nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂ thì áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - {x_1}x - x{x_2} + {x_1}{x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - x\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - x.\left( { - \frac{b}{a}} \right) + \frac{c}{a}} \right)\\
= a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\
= a{x^2} + bx + c
\end{array}\)

LG b

Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 2{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}4;\)

\(g\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {\sqrt 2 {\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}2\left( {\sqrt 2  + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(f(x) = - 2{x^2} - 7x + 4 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(a =  - 2,{x_1} =  - 4,{x_2} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(f(x) =  - 2(x + 4)(x - {1 \over 2})\)

\( = \left( {x + 4} \right)\left[ { - 2\left( {x - \frac{1}{2}} \right)} \right] \)

\(= \left( {x + 4} \right)\left( { - 2x + 1} \right)\)

\( = (x + 4)(1 - 2x)\)

+) Giải g(x)=0 ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta ' = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} - 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1 - 2} \right)\\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\
= 2 - 1\\
= 1\\
\Rightarrow {x_1} = \frac{{\sqrt 2 + 1 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}}\\
{x_2} = \frac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 + 1}}\\
= \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 + 1}} = \sqrt 2
\end{array}\)

Ta có:

\(a = \sqrt 2  + 1;{x_1} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}};{x_2} = \sqrt 2 \)

Vậy,

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {x - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}}} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)\\ = \left[ {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - \sqrt 2 } \right]\left( {x - \sqrt 2 } \right)\end{array}\)