Bài 7 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Dựa vào hình bên, tìm các giá trị của a để phương trình: \(3x + 2 =  - {x^2} + x + a\) có nghiệm dương.

Khi đó, hãy tìm nghiệm dương của phương trình.

Lời giải chi tiết

Phương trình đã cho tương đương:

\(3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2= {\rm{ }} - {x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }}\)

\( \Leftrightarrow 3x + 2 + {x^2} - x = a\)

\(\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}a\) (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của (P): \(x^2+ 2x + 2\) và đường thẳng d: \(y = a\)

và mỗi nghiệm tương ứng với 1 hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Phương trình có nghiệm dương khi và chỉ khi đường thẳng y=a cắt (P) tại điểm có hoành độ > 0 ứng với \(a > 2\)

Vậy a > 2.

Lại có:

\(\begin{array}{l}
3x + 2 = - {x^2} + x + a\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 2 - a = 0\\
\Delta ' = {1^2} - 1.\left( {2 - a} \right) = a - 1\\
\Rightarrow {x_{1,2}} = - 1 \pm \sqrt {a - 1}
\end{array}\)

Khi đó nghiệm dương của phương trình là \(x =  - 1 + \sqrt {a - 1} \)