Bài 19 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Đề bài

Giải phương trình x² + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.

Lời giải chi tiết

Ta có: 

Δ = (4m + 1)² – 8( m – 4)

\(= 16{m^2} + 8m + 1 - 8m + 32\)

= 16m² + 33 > 0; ∀m

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 

x₁  + x₂ = - 4m – 1; x₁x₂ = 2(m – 4) (x₁ > x₂)

Ta có:

 x₁ – x₂ = 17  ⇔ (x₁ – x₂)² = 289

⇔ (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = 289

⇔ (4m + 1)² – 8(m – 4) = 289

⇔ 16m² + 33 = 289

⇔ m = ± 4

+) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{ - 17 - \sqrt {289} } \over 2} = - 17 \cr 
& {x_2} = {{ - 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \)

+) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{15 - \sqrt {289} } \over 2} = - 1 \cr 
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \)

Cách khác:

Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 4m - 1 \pm \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2}\)

Hiệu hai nghiệm bằng 17 nên:

\(\begin{array}{l}
\frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} - \frac{{ - 4m - 1 - \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{ - 4m - 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} + 4m + 1 + \sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \frac{{2\sqrt {16{m^2} + 33} }}{2} = 17\\
\Leftrightarrow \sqrt {16{m^2} + 33} = 17\\
\Leftrightarrow 16{m^2} + 33 = 289\\
\Leftrightarrow 16{m^2} = 256\\
\Leftrightarrow m = \pm 4
\end{array}\)