Bài 20 trang 81 SGK Đại số 10 nâng cao

Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau có bao nhiêu nghiệm

LG a

 x⁴ + 8x² + 12 = 0

Phương pháp giải:

Xét pt: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\left( 1 \right)\) với \(a \ne 0\).

Đặt \(t = {x^2} \ge 0\) thì pt trở thành \(a{t^2} + bt + c = 0\left( 2 \right)\)

+) Nếu (2) vô nghiệm thì (1) vô nghiệm.

+) Nếu (2) có nghiệm kép âm thì (1) vô nghiệm.

+) Nếu (2) có nghiệm kép bằng 0 thì (1) có nghiệm duy nhất x=0.

+) Nếu (2) có nghiệm kép dương thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.

+) Nếu (2) có hai nghiệm trái dấu thì (1) có 2 nghiệm phân biệt.

+) Nếu (2) có hai nghiệm cùng âm thì (1) có vô nghiệm.

+) Nếu (2) có hai nghiệm cùng dương thì (1) có 4 nghiệm phân biệt.

+) Nếu (2) có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương thì (1) có 3 nghiệm phân biệt.

+) Nếu (2) có hai nghiệm trong đó có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm thì (1) có nghiệm duy nhất x=0.

Lời giải chi tiết:

x⁴ + 8x² + 12 = 0

Ta có: Δ’ = 4 > 0; S = -8 < 0; P = 12 > 0

Phương trình t² + 8t + 12 = 0 có hai nghiệm âm nên phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm.

Cách khác:

Ta thấy: x² > 0 ∀ x, x⁴ > 0 ∀ x nên x⁴ + 8x² + 12 > 12 > 0, ∀ x.

=>Phương trình vô nghiệm.

LG b

-1,5x⁴ - 2,6x² + 1 = 0

Lời giải chi tiết:

Ta có: ac < 0 nên phương trình \( - 1,5{t^2} - 2,6t + 1 = 0\) có một nghiệm âm, một nghiệm dương

Vậy pt đã cho có hai nghiệm đối nhau.

LG c

\((1 - \sqrt 2 ){x^4} + 2{x^2} + 1 - \sqrt 2  = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: Δ’ = 1 + (1 – 2) = 0 nên phương trình \((1 - \sqrt 2 ){t^2} + 2t + 1 - \sqrt 2  = 0\) có nghiệm kép.

Mà \(\left\{ \matrix{
S = {2 \over {\sqrt 2 - 1}} > 0 \hfill \cr 
P = {{1 - \sqrt 2 } \over {1-\sqrt 2 }} > 0 \hfill \cr} \right.\) 

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau.

LG d

\( - {x^4} + (\sqrt 3  - \sqrt 2 ){x^2} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình \( - {t^2} + (\sqrt 3  - \sqrt 2 )t = 0\) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương nên phương trình trùng phương có 3 nghiệm.