Bài 21 trang 81 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho phương trình: \(k{x^2} - 2\left( {k + 1} \right)x + k + 1 = 0\)

LG a

Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.

Phương pháp giải:

Chia thành hai TH:

TH1: Kiểm tra k=0 có thỏa mãn hay không.

TH2: Xét \(k\ne 0\) thì: phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.

Lời giải chi tiết:

Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = {1 \over 2}>0\)   (nhận)

Với k ≠ 0, ta có:

Δ’ = (k + 1)² – k(k + 1) = k + 1

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi phương trình có hai nghiệm trái dấu hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.

+ Trường hợp 1: Phương trình có hai nghiệm trái dấu

⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0

+ Trường hợp 2: Phương trình có hai nghiệm dương

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\Delta ' \ge 0 \hfill \cr 
S > 0 \hfill \cr 
P > 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k + 1 \ge 0 \hfill \cr 
{{2(k + 1)} \over k} > 0  \hfill \cr 
{{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ge - 1\\
\left[ \begin{array}{l}
k > 0\\
k < - 1
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
k > 0\\
k < - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow k > 0\)

+ Trường hợp 3: Phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương

Với x = 0 là nghiệm thì: \(k{.0^2} - 2\left( {k + 1} \right).0 + k + 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow k + 1 = 0 \Leftrightarrow k =  - 1\)

Khi đó, phương trình trở thành –x² = 0 ⇔ x = 0 (không thỏa mãn)

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi \( - 1 < k < 0\) hoặc \(k = 0\) hoặc \(k > 0\)

Kết hợp ta được k > -1.

LG b

Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1.

Phương pháp giải:

Phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1

\(\Leftrightarrow\) phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1\) \(\Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0\)

Sau đó, áp dụng Viet thay vào điều kiện tìm k.

Lời giải chi tiết:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta ' > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k + 1 > 0
\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k \ne 0\\
k > - 1
\end{array} \right.\,\,\,(*)\)

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:

\(\eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} - 1 < 0 < {x_2} - 1 \cr 
& \Leftrightarrow ({x_1} - 1)({x_2} - 1) < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} - ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} - {{2(k + 1)} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 - 2k - 2 + k} \over k} < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {{ - 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \)

Kết hợp với (*) ta được k>0.

Vậy giá trị k cần tìm là k > 0.