Bài 10 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

Không giải phương trình x² - 2x - 15 = 0, hãy tính:

LG a

Tổng các bình phương hai nghiệm của nó.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện có nghiệm 

Bước 2: Đưa biểu thức cần tính về tổng và tích các nghiệm để sử dụng hệ thức Vi -ét

Lời giải chi tiết:

Vì \(ac = -15 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. 

Theo định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} = 2 \hfill \cr 
{x_1}{x_2} = {c \over a} = - 15 \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}\)

\( = {({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} \)\(= {2^2} - 2( - 15) = 34\)

LG b

Tổng các lập phương hai nghiệm của nó.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& x_1^3 + x_2^3 = ({x_1} + {x_2})(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}) \cr 
& = ({x_1} + {x_2}){\rm{[}}{({x_1} + {x_2})^2} - 3{x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr&= 2(4 - 3.(-15)) = 98 \cr} \)

LG c

Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.

Hướng dẫn: \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng biến đổi \(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\) và kết quả câu a.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(x_1^4 + x_2^4 = x_1^4 + x_2^4 + 2x_1^2x_2^2 - 2x_1^2x_2^2\)

\( = {(x_1^2 + x_2^2)^2} - 2(x_1x_2)^2\)

\(= {34^2} - 2( - 15)^2 = 706\)