Bài 16 trang 80 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các phương trình sau (m và k là tham số)

LG a

(m - 1)x² + 7x - 12 = 0

Phương pháp giải:

- Xét m-1=0

- Xét \(m-1\ne 0\) và biện luận theo các trường hợp của \(\Delta \).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình \((m - 1)x^2 + 7x - 12 = 0\)

- Với \(m = 1\), phương trình trở thành: \(7x - 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\)

- Với \(m ≠ 1\), ta có: \(Δ = 7^2 + 4.12.(m – 1) = 48m + 1\)

+  \( Δ < 0 ⇔m <  - {1 \over {48}}\)  phương trình vô nghiệm

+ \(\Delta > 0 \Leftrightarrow m >  - {1 \over {48}}\)  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_{1,2} = {{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2(m - 1)}}\)

+ \(\Delta = 0 \Leftrightarrow m =  - {1 \over {48}}\)  thì phương trình có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{7}{{2.\left( {m - 1} \right)}} \)\(=  - \frac{7}{{2\left( { - \frac{1}{{48}} - 1} \right)}} = \frac{{24}}{7}\)

Vậy,

\(m = 1\) thì pt có nghiệm \(x =  - \frac{{12}}{7}\)

\(m <  - \frac{1}{{48}}\) thì pt vô nghiệm

\( - \frac{1}{{48}} < m \ne 1\) thì pt có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {48m + 1} }}{{2\left( {m - 1} \right)}}\)

\(m =  - {1 \over {48}}\) thì pt có nghiệm kép \(x=\frac{{24}}{7}\)

LG b

mx² - 2(m + 3)x + m + 1 = 0

Phương pháp giải:

- Xét m=0

- Xét \(m\ne 0\) và biện luận theo các trường hợp của \(\Delta' \).

Lời giải chi tiết:

mx² - 2(m + 3)x + m + 1 = 0

+ Với m = 0, phương trình trở thành: \( - 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\)

+ Với m ≠ 0. Ta có: Δ’ = (m + 3)² – m(m + 1) = 5m + 9         

\(\Delta'  < 0 \Leftrightarrow m <  - {9 \over 5}\) phương trình vô nghiệm

\(\Delta'  > 0 \Leftrightarrow m>  - {9 \over 5}\) , phương trình có hai nghiệm: \(x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\)

\(\Delta'  = 0 \Leftrightarrow m =  - {9 \over 5}\) phương trình có nghiệm kép \(x =  - \frac{{b'}}{a} =  - \frac{{ - \left( {m + 3} \right)}}{m} \)\(= \frac{{ - \frac{9}{5} + 3}}{{ - \frac{9}{5}}} =  - \frac{2}{3}\)

Vậy,

Với m = 0, phương trình có nghiệm \(  x = {1 \over 6}\)

Với \( m <  - {9 \over 5}\) phương trình vô nghiệm

Với \( 0\ne m >  - {9 \over 5}\) , phương trình có hai nghiệm: \(x_{1,2} = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\)

Với \(m =  - {9 \over 5}\) phương trình có nghiệm kép \(x=  - \frac{2}{3}\)

LG c

[(k + 1)x - 1](x - 1) = 0

Phương pháp giải:

Phương trình tích 

\(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left[ {\left( {k + 1} \right)x - 1} \right]\left( {x - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {k + 1} \right)x - 1 = 0\\
x - 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left( {k + 1} \right)x = 1\,\,\,(1)\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

+ Nếu k = -1 thì (1) là \(0x = 1\) (vô lí) nên (1) vô nghiệm.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1

+ Nếu k ≠ -1 thì (1) có nghiệm \(x = {1 \over {k + 1}}\)

Ta có: \({1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k + 1 = 1\Leftrightarrow k = 0\) .

Do đó:

i) k = 0; S = {1}

ii) k ≠ 0 và k ≠ -1: \(S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\)

iii) k = -1: S = {1}

LG d

(mx - 2)(2mx - x + 1) = 0

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\((mx - 2)(2mx - x + 1) = 0 \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 2 = 0\\
2mx - x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 2 = 0\\
\left( {2m - 1} \right)x + 1 = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx = 2 \hfill \cr 
(2m - 1)x = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Nếu m=0 thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 2\left( {VN} \right)\\ - x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\)

Nếu \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{1}{2}x = 2\\0x =  - 1\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 4\)

Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne \frac{1}{2}\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{2}{m}\\x =  - \frac{1}{{2m - 1}}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} \Leftrightarrow 2\left( {1 - 2m} \right) = m\) \( \Leftrightarrow 2 - 4m = m \Leftrightarrow 2 = 5m\) \( \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\)

\( \Rightarrow x = \frac{2}{m} = \frac{1}{{1 - 2m}} = 5\)

Vậy,

+ Nếu m = 0 thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 1

+ Nếu m = \({1 \over 2}\) thì thì pt có nghiệm duy nhất x = 4

+ Nếu \(m = \frac{2}{5}\) thì pt có nghiệm duy nhất \(x = 5\)

+ Nếu m ≠ 0, m ≠ \({1 \over 2}\) và \(m \ne \frac{2}{5}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là: \(x_1 = {2 \over m};x_2 = {1 \over {1 - 2m}}\)