Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), trên các tia \(Ox, Oy\) lần lượt lấy các điểm \(A\) và \(B\) thay đổi sao cho đường thẳng \(AB\) luôn tiếp xúc với đường tròn tâm \(O\) bán kính \(1\). Xác định tọa độ của \(A\) và \(B\) để đoạn \(AB\) có độ dài nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hệ quả: Hai số dương bất kì có tích không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
Lời giải chi tiết
Tam giác ABC vuông tại O có OH là đường cao nên \(HA.HB = O{H^2} = {1^2} = 1\)
Mà \(AB = AH + HB \ge 2\sqrt {AH.HB} \) \(= 2\sqrt 1 = 2\)
\(\Rightarrow A{B_{\min }} = 2 \Leftrightarrow HA = HB = 1\)
\(∆OAB\) có OH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên vuông cân: \(OA = OB\) và \(AB = 2\).
\(AB^2= 4 = 2OA^2\) suy ra \(OA= OB = \sqrt2\).
Khi đó tọa độ của \(A, B\) là \(A(\sqrt 2; 0)\) và \(B(0; \sqrt2)\).