Bài 5 trang 79 SGK Đại số 10

Đề bài

Chứng minh rằng

\(x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
{x^4} - \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0\\
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt x } \right)^8} - {\left( {\sqrt x } \right)^5} + {\left( {\sqrt x } \right)^2} - \sqrt x + 1 > 0
\end{array}\)

Đặt \(\sqrt x = t, x ≥ 0 \Rightarrow t ≥ 0\).

Vế trái trở thành: \({t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1 = f(t)\)

+) Nếu \(t = 0\), hoặc \(t = 1\) thì \(f(t) = 1 >0\)

+) Với \(0 < t <1\),      

\(f\left( t \right){\rm{ }} = {t^8} + {\rm{ }}({t^2} - {\rm{ }}{t^5}) + 1{\rm{ }} - {\rm{ }}t\)

\({t^8} > {\rm{ }}0;1{\rm{ }} - {\rm{ }}t{\rm{ }} > {\rm{ }}0;{t^2} - {\rm{ }}{t^{5}} = {t^2}\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}t^3} \right){\rm{ }} \)\(> {\rm{ }}0\).

Suy ra \(f(t) > 0\).

+) Với \(t > 1\) thì \(f\left( t \right){\rm{ }} = {t^5}({t^3}-{\rm{ }}1){\rm{ }} + {\rm{ }}t\left( {t{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}0\)

Vậy \(f(t) > 0,∀t ≥ 0\).

Hay \(x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0\).

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
2\left( {{t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1} \right)\\
= {t^8} + {t^8} - 2{t^5} + {t^2} + {t^2} - 2t + 1 + 1\\
= \left( {{t^8} - 2{t^5} + {t^2}} \right) + \left( {{t^2} - 2t + 2} \right) + {t^8} + 1\\
= {\left( {{t^4} - t} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} + {t^8} + 1\\
\ge 0 + 0 + 0 + 1 = 1>0
\end{array}\)

(Do \({\left( {{t^4} - t} \right)^2} \ge 0;{\left( {t - 1} \right)^2} \ge 0,{t^8} \ge 0\) )

\( \Rightarrow {t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1  > 0\) hay có đpcm.